Posted on 2007-10-16 11:19
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Mathematics
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/2/2_6.htm
Ferrers图像
一个从上而下的n层格子，mi 为第i层的格子数，当mi>=mi+1(i=1,2,...,n-1)
，即上层的格子数不少于下层的格子数时，称之为Ferrers图像，如图(2-6-2)示。
图 (2-6-2)
Ferrers图像具有如下性质：
1.每一层至少有一个格子。
2.第一行与第一列互换，第二行于第二列互换，…，即图(2-6-3)绕虚线轴旋转所得的图仍然是Ferrers图像。两个Ferrers
图像称为一对共轭的Ferrers图像。
利用Ferrers图像可得关于整数拆分的十分有趣的结果。
(a)整数n拆分成k个数的和的拆分数，和数n拆分成个数的和的拆分数相等。
因整数n拆分成k个数的和的拆分可用一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子。例如：
图 (2-6-3)
(b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，和n拆分成最大不超过m的拆分数相等。
理由和(a)相类似。
因此，拆分成最多不超过m个数的和的拆分数的母函数是
拆分成最多不超过m-1个数的和的拆分数的母函数是
所以正好拆分成m个数的和的拆分数的母函数为
(c)整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的的拆分数,和n拆分成自共轭的Ferrers图像的拆分数相等.
设
其中n1>n2>...>nk
构造一个Ferrers图像，其第一行，第一列都是n1+1格，对应于2n1+1，第二行，第二列各n2+1格，对应于2n2+1。以此类推。由此得到的Ferres图像是共轭的。反过来也一样。
例如 17=9+5+3 对应为Ferrers图像为
图 (2-6-4)
费勒斯（Ferrers）图象
假定n拆分为n=n1+n2+n3+……+nk，且n1>=n2>=n3>=……>=nk
我们将它排列成阶梯形，左边看齐，我们可以得到一个类似倒阶梯图像，这种图像我们称之为Ferrers图像，如对于20=10+5+4+1，我们有图像：
对于Ferrers图像，我们很容易知道以下两条性质：
（1） 每层至少一个格子
（2） 行列互换，所对应的图像仍为Ferrers图像，他应该为该图像的共轭图像
任意的Ferrers图像对应一个整数的拆分，而可用Ferrers图像方便地证明：
（1） n拆分为k个整数的拆分数，与n拆分成最大数为k的拆分数相等
（2） n拆分为最多不超过k个数的拆分数，与n拆分成最大数不超过k的拆分数相等
（3） n拆分为互不相同的若干奇数的拆分数，与n拆分成图像自共轭的拆分的拆分数相等