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Ferrers图像

Posted on 2007-10-16 11:19 ZelluX 阅读(922) 评论(0)  编辑  收藏 所属分类: Mathematics
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/2/2_6.htm

Ferrers图像 

    一个从上而下的n层格子,mi 为第i层的格子数,当mi>=mi+1(i=1,2,...,n-1) ,即上层的格子数不少于下层的格子数时,称之为Ferrers图像,如图(2-6-2)示。 

        

                                 图   (2-6-2)

    Ferrers图像具有如下性质: 

    1.每一层至少有一个格子。 

    2.第一行与第一列互换,第二行于第二列互换,…,即图(2-6-3)绕虚线轴旋转所得的图仍然是Ferrers图像。两个Ferrers 图像称为一对共轭的Ferrers图像。 

    利用Ferrers图像可得关于整数拆分的十分有趣的结果。 

    (a)整数n拆分成k个数的和的拆分数,和数n拆分成个数的和的拆分数相等。 

    因整数n拆分成k个数的和的拆分可用一k行的图像表示。所得的Ferrers图像的共轭图像最上面一行有k个格子。例如: 

      

图   (2-6-3)      

    (b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数,和n拆分成最大不超过m的拆分数相等。 理由和(a)相类似。 

    因此,拆分成最多不超过m个数的和的拆分数的母函数是 

       

    拆分成最多不超过m-1个数的和的拆分数的母函数是 

       

    所以正好拆分成m个数的和的拆分数的母函数为 

       

    (c)整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的的拆分数,和n拆分成自共轭的Ferrers图像的拆分数相等. 设 

       

其中n1>n2>...>nk 

    构造一个Ferrers图像,其第一行,第一列都是n1+1格,对应于2n1+1,第二行,第二列各n2+1格,对应于2n2+1。以此类推。由此得到的Ferres图像是共轭的。反过来也一样。 

    例如 17=9+5+3 对应为Ferrers图像为

       

图   (2-6-4)

       


费勒斯(Ferrers)图象

假定n拆分为n=n1+n2+n3+……+nk,且n1>=n2>=n3>=……>=nk

我们将它排列成阶梯形,左边看齐,我们可以得到一个类似倒阶梯图像,这种图像我们称之为Ferrers图像,如对于20=10+5+4+1,我们有图像:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

对于Ferrers图像,我们很容易知道以下两条性质:

(1)      每层至少一个格子

(2)      行列互换,所对应的图像仍为Ferrers图像,他应该为该图像的共轭图像

   任意的Ferrers图像对应一个整数的拆分,而可用Ferrers图像方便地证明:

(1)      n拆分为k个整数的拆分数,与n拆分成最大数为k的拆分数相等

(2)      n拆分为最多不超过k个数的拆分数,与n拆分成最大数不超过k的拆分数相等

(3)      n拆分为互不相同的若干奇数的拆分数,与n拆分成图像自共轭的拆分的拆分数相等



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