Posted on 2007-07-27 19:36
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Mathematics
1. Peano 系统
Peano系统是满足以下公设的有序三元组<M, F, e>，其中M为一个集合，F为M到M的函数，e为首元素。5条公设为：
(1) e ∈M
(2) M在F下是封闭的
(3) e ￠ ranF （暂时只找到这个符号表示“不属于” 囧）
(4) F是单射的
(5) 如果M的子集A满足 (e属于A) 且 (A在F下是封闭的)，则A=M
(5)称为极小性公设
2. 设A为一个集合，称 A∪{A} 为A的后继，记作A+, 并称求集合的后继为后继运算。
3. 设A为一个集合，若A满足：
(1) Ø ∈A，
(2) 若对于一切 a ∈A，则 a+ ∈A，
则称A是归纳集。
4. 从归纳集的定义可以看出，Ø，Ø+, Ø++,... 是所有归纳集的元素，于是可以将它们定义成自然数。
自然数是属于每个归纳集的集合，将Ø，Ø+, Ø++,...分别记为0, 1, 2, ...
设D={v | v是归纳集|，称∩D为全体自然数集合，记为N.
设N为自然数集合，σ: N -> N，且σ(n) = n+, 则<N, σ, Ø>是Peano系统。
这个Peano系统的第(5)条公设提出了证明自然数性质的一种方法，即数学归纳法，称此公设为数学归纳法原理。