【题说】
1996
年北京市赛高一复试题
5
．
【证】（
1
）不妨设
a
、
b
、
c
中
a
为最大．
因为
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
-
（
a
4
+b
4
+c
4
）
=
（
2ab
）
2
-
（
a
2
+b
2
-c
2
）
2
≥
0
所以
2ab
≥
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2
+c
2
=
（
a
2
+b
2
-c
2
）
+2c
2
≤
2ab+2c
2
≤
2
（
ab+bc+ca
）
（
2
）（
*
）的逆命题：设
a
、
b
、
c
是非负实数．如果
a
2
+b
2
+c
2
≤
2
（
ab+bc+ca
），
则
a
4
+b
4
+c
4
≤
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
这逆命题不真，例如
a=4
，
b=c=1
时
a
2
+b
2
+c
2
=2
（
ab+bc+ca
）
=18
而
a
4
+b
4
+c
4
=258
＞
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
=66
【评注】
a
4
+b
4
+c
4
＜
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）是
a
、
b
、
c
构成三角形的充分必要条件
，而且在构成三角形时，设三角形面积为Δ，则
16
Δ
2
=2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
-a
4
-b
4
-c
4
＞
0
这是我在找资料的时候偶尔看到的，觉得也许以后有用得到的时候，所以就摘录了下来。
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posted on 2007-03-29 13:32
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