上回说到对于文本分类这样的不适定问题(有一个以上解的问题称为不适定问题),需要有一个指标来衡量解决方案(即我们通过训练建立的分类模型)的好坏,而分类间隔是一个比较好的指标。

在进行文本分类的时候,我们可以让计算机这样来看待我们提供给它的训练样本,每一个样本由一个向量(就是那些文本特征所组成的向量)和一个标记(标示出这个样本属于哪个类别)组成。如下:

Di=(xi,yi)

xi就是文本向量(维数很高),yi就是分类标记。

在二元的线性分类中,这个表示分类的标记只有两个值,1和-1(用来表示属于还是不属于这个类)。有了这种表示法,我们就可以定义一个样本点到某个超平面的间隔:

δi=yi(wxi+b)

这个公式乍一看没什么神秘的,也说不出什么道理,只是个定义而已,但我们做做变换,就能看出一些有意思的东西。

首先注意到如果某个样本属于该类别的话,那么wxi+b>0(记得么?这是因为我们所选的g(x)=wx+b就通过大于0还是小于0来判断分类),而yi也大于0;若不属于该类别的话,那么wxi+b<0,而yi也小于0,这意味着yi(wxi+b)总是大于0的,而且它的值就等于|wxi+b|!(也就是|g(xi)|)

现在把w和b进行一下归一化,即用w/||w||和b/||w||分别代替原来的w和b,那么间隔就可以写成

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这个公式是不是看上去有点眼熟?没错,这不就是解析几何中点xi到直线g(x)=0的距离公式嘛!(推广一下,是到超平面g(x)=0的距离, g(x)=0就是上节中提到的分类超平面)

小Tips:||w||是什么符号?||w||叫做向量w的范数,范数是对向量长度的一种度量。我们常说的向量长度其实指的是它的2-范数,范数最一般的表示形式为p-范数,可以写成如下表达式

    向量w=(w1, w2, w3,…… wn)

它的p-范数为

    clip_image004[10]

 

看看把p换成2的时候,不就是传统的向量长度么?当我们不指明p的时候,就像||w||这样使用时,就意味着我们不关心p的值,用几范数都可以;或者上文已经提到了p的值,为了叙述方便不再重复指明。

 

当用归一化的w和b代替原值之后的间隔有一个专门的名称,叫做几何间隔,几何间隔所表示的正是点到超平面的欧氏距离,我们下面就简称几何间隔为“距离”。以上是单个点到某个超平面的距离(就是间隔,后面不再区别这两个词)定义,同样可以定义一个点的集合(就是一组样本)到某个超平面的距离为此集合中离超平面最近的点的距离。下面这张图更加直观的展示出了几何间隔的现实含义:

clip_image010[10]

H是分类面,而H1和H2是平行于H,且过离H最近的两类样本的直线,H1与H,H2与H之间的距离就是几何间隔。

之所以如此关心间隔这个东西,是因为间隔与样本的误分次数间存在关系:

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其中的δ是样本集合到分类面的间隔,R是空间中一个能完全包含样本数据的球的半径(也就是说代表样本的分布有多么广)。先不必追究误分次数的具体定义和推导过程,只要记得这个误分次数一定程度上代表分类器的误差。而从上式可以看出,误分次数的上界由间隔决定!(当然,是样本已知的时候)

至此我们就明白为何要选择间隔来作为评价一个解优劣的指标了,原来间隔越大的解,它的误差上界越小。因此最大化间隔成了我们训练阶段的目标,而且,与二把刀作者所写的不同,最大化分类间隔并不是SVM的专利,而是早在线性分类时期就已有的思想。

但是看过一些关于SVM的论文的人一定记得什么优化的目标是要最小化||w||这样的说法,这是怎么回事呢?回头再看看

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这个公式,这里的|g(x)|代表样本集到超平面g(x)=0距离最近的点的值,因此是一个定值,注意到间隔与||w||是成反比的,因此最大化间隔与最小化||w||完全是一回事。而我们常用的方法并不是固定||w||的大小而寻求最大间隔,而是固定间隔(例如固定为1),寻找最小的||w||。

现在有了一个线性分类函数,也有了判断解优劣的标准(有了优化的目标),接下来自然关心如何求解,且听下回分解。