前文提到过,除了开方检验(CHI)以外,信息增益(IG,Information Gain)也是很有效的特征选择方法。但凡是特征选择,总是在将特征的重要程度量化之后再进行选择,而如何量化特征的重要性,就成了各种方法间最大的不同。开方检验中使用特征与类别间的关联性来进行这个量化,关联性越强,特征得分越高,该特征越应该被保留。

在信息增益中,重要性的衡量标准就是看特征能够为分类系统带来多少信息,带来的信息越多,该特征越重要。

因此先回忆一下信息论中有关信息量(就是“熵”)的定义。说有这么一个变量X,它可能的取值有n多种,分别是x1,x2,……,xn,每一种取到的概率分别是P1,P2,……,Pn,那么X的熵就定义为:

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意思就是一个变量可能的变化越多(反而跟变量具体的取值没有任何关系,只和值的种类多少以及发生概率有关),它携带的信息量就越大(因此我一直觉得我们的政策法规信息量非常大,因为它变化很多,基本朝令夕改,笑)。

对分类系统来说,类别C是变量,它可能的取值是C1,C2,……,Cn,而每一个类别出现的概率是P(C1),P(C2),……,P(Cn),因此n就是类别的总数。此时分类系统的熵就可以表示为:

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有同学说不好理解呀,这样想就好了,文本分类系统的作用就是输出一个表示文本属于哪个类别的值,而这个值可能是C1,C2,……,Cn,因此这个值所携带的信息量就是上式中的这么多。

信息增益是针对一个一个的特征而言的,就是看一个特征t,系统有它和没它的时候信息量各是多少,两者的差值就是这个特征给系统带来的信息量,即增益。系统含有特征t的时候信息量很好计算,就是刚才的式子,它表示的是包含所有特征时系统的信息量。

问题是当系统不包含t时,信息量如何计算?我们换个角度想问题,把系统要做的事情想象成这样:说教室里有很多座位,学生们每次上课进来的时候可以随便坐,因而变化是很大的(无数种可能的座次情况);但是现在有一个座位,看黑板很清楚,听老师讲也很清楚,于是校长的小舅子的姐姐的女儿托关系(真辗转啊),把这个座位定下来了,每次只能给她坐,别人不行,此时情况怎样?对于座次的可能情况来说,我们很容易看出以下两种情况是等价的:(1)教室里没有这个座位;(2)教室里虽然有这个座位,但其他人不能坐(因为反正它也不能参与到变化中来,它是不变的)。

对应到我们的系统中,就是下面的等价:(1)系统不包含特征t;(2)系统虽然包含特征t,但是t已经固定了,不能变化。

我们计算分类系统不包含特征t的时候,就使用情况(2)来代替,就是计算当一个特征t不能变化时,系统的信息量是多少。这个信息量其实也有专门的名称,就叫做“条件熵”,条件嘛,自然就是指“t已经固定“这个条件。

但是问题接踵而至,例如一个特征X,它可能的取值有n多种(x1,x2,……,xn),当计算条件熵而需要把它固定的时候,要把它固定在哪一个值上呢?答案是每一种可能都要固定一下,计算n个值,然后取均值才是条件熵。而取均值也不是简单的加一加然后除以n,而是要用每个值出现的概率来算平均(简单理解,就是一个值出现的可能性比较大,固定在它上面时算出来的信息量占的比重就要多一些)。

因此有这样两个条件熵的表达式:

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这是指特征X被固定为值xi时的条件熵,

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这是指特征X被固定时的条件熵,注意与上式在意义上的区别。从刚才计算均值的讨论可以看出来,第二个式子与第一个式子的关系就是:

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具体到我们文本分类系统中的特征t,t有几个可能的值呢?注意t是指一个固定的特征,比如他就是指关键词“经济”或者“体育”,当我们说特征“经济”可能的取值时,实际上只有两个,“经济”要么出现,要么不出现。一般的,t的取值只有t(代表t出现)和clip_image006(代表t不出现),注意系统包含t但t 不出现与系统根本不包含t可是两回事。

因此固定t时系统的条件熵就有了,为了区别t出现时的符号与特征t本身的符号,我们用T代表特征,而用t代表T出现,那么:

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与刚才的式子对照一下,含义很清楚对吧,P(t)就是T出现的概率,clip_image010就是T不出现的概率。这个式子可以进一步展开,其中的

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另一半就可以展开为:

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因此特征T给系统带来的信息增益就可以写成系统原本的熵与固定特征T后的条件熵之差:

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公式中的东西看上去很多,其实也都很好计算。比如P(Ci),表示类别Ci出现的概率,其实只要用1除以类别总数就得到了(这是说你平等的看待每个类别而忽略它们的大小时这样算,如果考虑了大小就要把大小的影响加进去)。再比如P(t),就是特征T出现的概率,只要用出现过T的文档数除以总文档数就可以了,再比如P(Ci|t)表示出现T的时候,类别Ci出现的概率,只要用出现了T并且属于类别Ci的文档数除以出现了T的文档数就可以了。

从以上讨论中可以看出,信息增益也是考虑了特征出现和不出现两种情况,与开方检验一样,是比较全面的,因而效果不错。但信息增益最大的问题还在于它只能考察特征对整个系统的贡献,而不能具体到某个类别上,这就使得它只适合用来做所谓“全局”的特征选择(指所有的类都使用相同的特征集合),而无法做“本地”的特征选择(每个类别有自己的特征集合,因为有的词,对这个类别很有区分度,对另一个类别则无足轻重)。

看看,导出的过程其实很简单,没有什么神秘的对不对。可有的学术论文里就喜欢把这种本来很直白的东西写得很晦涩,仿佛只有读者看不懂才是作者的真正成功。

咱们是新一代的学者,咱们没有知识不怕被别人看出来,咱们有知识也不怕教给别人。所以咱都把事情说简单点,说明白点,大家好,才是真的好。