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普林斯顿大学的一道习题

        题目:如果给你两个师的兵力,由你来当“司令”,任务是攻克“敌人”占据的一座城市,而敌军的守备力量是三个师,规定双方的兵力只能整师调动。

  通往城市的道路只有甲乙两条。当你发起攻击的时候,你的兵力超过敌人,你就获胜;你的兵力比敌人的守备兵力少或者相等,你就失败,那么,你将如何制定攻城方案?
  “司令”发牢骚躺倒不干:“为什么给敌人三个师的兵力,而只给我两个师?这太不公平,兵力已经吃亏,居然还要规定兵力相等则敌胜我败,连规则都不公平,完全偏袒敌人。”为此你也许会大为不满。来个躺倒不干。
  其实,这次模拟“作战”,每一方取胜的概率都是50%,即谁胜谁负的可能性是一半对一半。你这个司令能否神机妙算,指挥队伍克敌制胜,还得看你的本事。
  为什么说取胜的概率是一半对一半呢,让我们先学一点儿“纸上谈兵”。
  我们来分析一下:敌人有三个师,布防在甲乙两条通道上。由于必须整师布防,敌人有四种部署方案,即:
A、三个师都驻守甲方向;
B、两个师驻守甲方向,一个师驻守乙方向;
C、一个师驻守甲方向,两个师驻守乙方向:
D、三个师都驻守乙方向。
  同样,你有两个师的攻城部队,可以有三种部署方案,即:

a、集中全部两个师的兵力从甲方向攻击;
b、兵分两路,一师从甲方向,另一师从乙方向,同时发起攻击;
c、集中全部两个师的兵力从乙方向攻击。
  和以前一样,如果我们用“+,-”表示我方攻克,用“-,+”表示敌方守住,就可以画出交战双方的胜负分析表:

       敌
    A  B  C  D
  a -,+ -,+ +,- +,-
我 b +,- -,+ -,+ +,-
  c +,- +,- -,+ -,+


  假设你采取a方案,那么如果“敌人”采取A方案,你的两个师将遇到敌军三个师的抵抗,你要败下阵来,所以是(一,十);如果“敌人”取B方案,你的两个师遇到敌军两个师以逸待劳的抵抗,你也要败下阵来,同样是(一,+);但是如果“敌人”取C方案,你以两个师打“敌人”一个师,你就会以优势兵力获得胜利,结果是(十,一);同样,如果“敌人”采取D方案,你攻在敌军的薄弱点上,你就能长驱直入,轻取城池,结果也是(十,一)。
  和以前的博弈表示略微不同的地方,是现在每个格子里面只有正负号,没有数目字。希望这不会使你感到不安。如果你还是喜欢有数目字,那也容易得很,每个正负号后面都加上同一个数目字就行,同一个1.同一个1944,或者同一个1998。要紧是表达出输赢。
  这你就知道,在上述表达中,正负号要紧,具体数目字无所谓。


诺曼底登陆模拟:取胜概率相等

  交战双方的胜负分析表画出来以后,从“+,一”的分布来看,似乎双方取胜的机会都一样大。一直看《博弈论平话》的读者,可以运用劣势策略消去法把它化简。
  实际做这个题目的时候,如果先从我方入手,一下子是分不出优劣来的。a和b,b和c,a和c之间,都说不上谁比谁优,谁比谁劣。于是,我们从敌方入手,尝试站在敌军的立场,比较策略A和B。如果我军采取策略a,敌军取A或B都会赢,结果一样。如果我军采取策略b,敌军取A会输取B会赢,如我军采取策略c,敌军取A或B都会输。可见,在敌军看来,策略B比策略A好:采取策略A会赢的话(如果我军取a),采取策略B一定也会赢;采取策略A会输的话(如果我军取b或c),采取策略B却不一定会输,因为假如我军取b,敌军就赢了。
  同样,策略C和D比较,C是优势策略,而D是劣势策略。

  智慧的或者说理性的局中人是不会采用劣势策略的,所以当做出博弈的矩阵表示以后,如果发现劣势策略,你就可以把它划去,这就是劣势策略消去法。


  现在,剩下上边那个三行两列的矩阵,六个格子中,(一, +)比(十,一)多,似乎敌方的赢面比较大,其实不然。因为到了敌方不会采用“笨蛋”策略的时候,到了敌方只剩下B和C两个较优策略的时候,我方的三个策略之中,原来不是劣势策略的b现在就变成劣势策略了。我们也不是笨蛋,所以我们也应该把b删去。最后,得到下边那个两行两列的矩阵博弈表示。


  情况最终就是这样:敌军必取B或C那样的二一布防,一路两个师,另一路一个师,而我军必集中兵力于某一路实施攻击,即a或c那样的攻击策略。这样,你若攻在敌军的薄弱处,你就获胜,你若攻在敌人兵力较多的地方,你就失败,总之,敌我双方获胜的可能性还是一样大,“司令”先生:不要躺倒不干,你不比对方吃亏。
  这虽然是一个模拟的例子,却具有相当的现实意义,诺曼底战役前的情况,大体也是这个样子。跨海作战,攻方能够调动来渡海作战的兵力,通常总是比守方可以用于守备的兵力少。模拟作战中假设攻方兵力力两个师而守方的兵力为三个师,就是这样的背景。另外,渡海登陆作战,通常至少在一开始的时候,攻方要承受很大的牺牲。模拟作战中规定若攻守双方兵力相等则攻方失败,体现了这个意思。

posted on 2005-07-10 22:08 benchensz 阅读(4529) 评论(0)  编辑  收藏 所属分类: 博弈论资料转载


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