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深入理解动态规划的一系列问题(8)

      最优二叉搜索树问题(Optimal Binary Search Tree Problem (BST))是算导上又一个经典例题,给定一系列数据项X={x0,x1,…,x(n-1)},每项都有一个访问概率p(xi),目标是构建一棵二叉搜索树使得访问每个节点的成本最小,即Σ(p(xi) * level(xi))最小,而level(xi)是指xi项在树中的深度。因为树的递归特性再加二叉搜索树的应用广泛性使得用DP来求解这个最优化问题最合适不过。求解思路还是一样,目标是要列出DPFE,那么第一步要理解目标并把状态定义出来,有了状态和执行步骤,转移方程自然就OK了。因为面临的是建树的问题,所以我们的思路会自然想到,自底向上还是自顶向下?而不失一般性的一个规律是,如果是动态规划解,多数是自顶向下,而贪心解可以做自底向上。所以我们不妨以数据项集作为状态,即X为状态,那么自顶向下的执行步骤将是,首先从X中选择一个x作为节点,然后再计算去除x后的集合X’作为左右子树……依次递归。于是DPFE方程为:f(X)=min a{f(Xl) + f(Xr) + r(a,X)}, X≠∅,f(X)=0, X=∅。其中Xl={x属于X,且x<a}(左子树),Xr={x属于X,且x>a}。成本函数r(a,X)=Σp(x) x∈X。看到这个解,其实对于熟悉树结构的人来说,这是非常直观和自然的一个推断结果。

      以具体例子来解读,一个数据集为{A,B,C,D,E},对应的搜索概率为{0.25,0.05,0.2,0.4,0.1}。那么最优解f(X)=f({A,B,C,D,E})=1.9,树形为:

image

程序源码:

   1: /*
   2:  * Copyright (C) 2013 changedi
   3:  *
   4:  * Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
   5:  * you may not use this file except in compliance with the License.
   6:  * You may obtain a copy of the License at
   7:  *
   8:  * http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
   9:  *
  10:  * Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
  11:  * distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
  12:  * WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
  13:  * See the License for the specific language governing permissions and
  14:  * limitations under the License.
  15:  */
  16: package com.jybat.dp;
  17:  
  18: import java.util.SortedSet;
  19: import java.util.TreeSet;
  20:  
  21: public class BST {
  22:  
  23:     private int[] data = { 0, 1, 2, 3, 4 };// assume the n data items are
  24:                                             // the ints {0,1,..,n-1}
  25:                                             // corresponding to strings
  26:                                             // { "A", "B", "C", "D",
  27:                                             // "E"}
  28:     private double[] probability = { 0.25, 0.05, 0.2, 0.4, 0.1 };
  29:  
  30:     private static SortedSet<Integer> setOfAllItems = new TreeSet<Integer>();
  31:  
  32:     public BST() {
  33:         for (int i = 0; i < data.length; i++)
  34:             setOfAllItems.add(data[i]);
  35:     }
  36:  
  37:     private double sumOfProbabilitiesOfItems(SortedSet items) {
  38:         double result = 0.0;
  39:         for (int i = ((Integer) items.first()).intValue(); i <= ((Integer) items
  40:                 .last()).intValue(); i++) {
  41:             result += probability[i];
  42:         }
  43:         return result;
  44:     }
  45:  
  46:     private SortedSet setOfItemsLessThanPivot(SortedSet items, int alpha) {
  47:         // conveniently use method headSet() from SortedSet
  48:         // headSet() DOES NOT include alpha
  49:         return new TreeSet(items.headSet(new Integer(alpha)));
  50:     }
  51:  
  52:     private SortedSet setOfItemsGreaterThanPivot(SortedSet items, int alpha) {
  53:         // conveniently use method tailSet() from SortedSet
  54:         // headSet() DOES include alpha
  55:         SortedSet ss = new TreeSet(items.tailSet(new Integer(alpha)));
  56:         ss.remove(alpha);
  57:         return ss;
  58:     }
  59:  
  60:     public double f(SortedSet<Integer> items) {
  61:         if (items.size() == 0)
  62:             return 0.0;
  63:         double min = Double.MAX_VALUE;
  64:         for (int a : items) {
  65:             double t = sumOfProbabilitiesOfItems(items)
  66:                     + f(setOfItemsLessThanPivot(items, a))
  67:                     + f(setOfItemsGreaterThanPivot(items, a));
  68:             if (t < min)
  69:                 min = t;
  70:         }
  71:         return min;
  72:     }
  73:  
  74:     /**
  75:      * @param args
  76:      */
  77:     public static void main(String[] args) {
  78:         BST bst = new BST();
  79:         System.out.println(bst.f(setOfAllItems));
  80:     }
  81:  
  82: }


posted on 2014-04-28 16:24 changedi 阅读(1420) 评论(2)  编辑  收藏 所属分类: 算法

评论

# re: 深入理解动态规划的一系列问题(8) 2014-05-16 18:16 中山婚纱摄影

学习了,博主辛苦!  回复  更多评论   

# re: 深入理解动态规划的一系列问题(8) 2014-05-16 18:16 中山婚纱摄影

学习了,博主辛苦!~  回复  更多评论   


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