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整数划分算法原理与实现

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    整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n。
    如6的整数划分为
   
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
   
    共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
   
    递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),
    1 当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
   
    2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
    (1) m > n
    在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n, n);
    可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);   
    (2) m = n
    这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加
    数为6和小于6的划分之和
    用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况。
    从上例可以看出,设m = 4,那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
    因此,split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
   
    根据以上描述,可得源程序如下:
  
#include <stdio.h>

   
int split(int n, int m)
   {
      
if(n < 1 || m < 1return 0;
      
if(n == 1 || m == 1return 1;
      
if(n < m) return split(n, n);
      
if(n == m) return (split(n, m - 1+ 1);
      
if(n > m) return (split(n, m - 1+ split((n - m), m));
  }

int main()
{
     printf(
"12的划分数: %d", split(1212));
    
return 0;
}

将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式:
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式,设n为被划分的正整数,x为划分后最小的整数,如果n有一种划分,那么
结果就是x,如果有两种划分,就是x和x x + 1, 如果有m种划分,就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n,i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例,当i = 1时,即划分成一个正整数时,x = 15, 当i = 2时, x = 7。
当x = 3时,x = 4, 当x = 4时,4/9,不是正整数,因此,15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时,x = 1。

    这里还有一个问题,这个i的最大值是多少?不过有一点可以肯定,它一定比n小。我们可以做一个假设,
假设n可以拆成最小值为1的划分,如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设,
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n,即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

综合上述,源程序如下
int split1(int n)
{
    
int i, j, m = 0, x, t1, t2;
   
// 在这里i + 1之所以变为i - 1,是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到,
  
// 为了避免重复计算,因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
    for(i = 1; (t1 = i * (i - 1/ 2< n; i++
    {
        t2 
= (n - t1);
        x 
=  t2 / i;
        
if(x <= 0break;
        
if((n - t1) % i == 0)
        {
            printf(
"%d ", x);
            
for(j = 1; j < i; j++)
                printf(
"%d ", x + j);
            printf(
"\n");
            m
++;
        }
    }
    
return m;
}




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posted on 2008-05-11 15:41 银河使者 阅读(1704) 评论(0)  编辑  收藏 所属分类: algorithmC/C++ 原创


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