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矩阵分解

      矩阵分解 (decomposition, factorization), 顾名思义, 就是将矩阵进行适当的分解, 使得进一步的处理更加便利。矩阵分解多数情况下是将一个矩阵分解成数个三角阵(triangular matrix)。依使用目的的不同，一般有三种矩阵分解方法：1)三角分解法 (Triangular decomposition)，2)QR 分解法 (QR decomposition)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。

1) 三角分解法(Triangular  decomposition)
        三角分解法是将方阵 (square matrix)分解成一个上三角矩阵﹝或是排列(permuted) 的上三角矩阵﹞和一个下三角矩阵，该方法又被称为LU分解法。
        例如, 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9], 运用该分解方法可以得到:
        上三角矩阵L=[0.1429    1.0000         0
                                 0.5714    0.5000    1.0000
                                 1.0000         0         0]
         和下三角矩阵U=[7.0000    8.0000    9.0000
                                             0    0.8571    1.7143
                                             0         0    0.0000]
        不难验证 L* U = X.

      该分解方法的用途主要在简化大矩阵的行列式值的计算,矩阵求逆运算和求解联立方程组。需要注意的是, 这种分解方法所得到的上下三角形矩阵不是唯一的，我们还可找到若干对不同的上下三角矩阵对，它们的乘积也会得到原矩阵。 

      对应MATLAB命令:  lu

2) QR分解法
       QR分解法是将矩阵分解成一个单位正交矩阵(自身与其转置乘积为单位阵I)和一个上三角矩阵。 

      对应MATLAB命令:  qr 

3) 奇异值分解法(SVD)

       奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。使用SVD分解法的用途是求解最小平方误差和数据压缩。

       对应MATLAB命令:  svd

posted on 2006-01-06 09:36 Guo Zhang 阅读(6779) 评论(2)  编辑  收藏 所属分类: 数理统计