KMP算法

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，此算法可以在O(n+m)的时间数量级上完成串的模式匹配操作，基本思想是，每当匹配过程中出现字符串比较不等时，不需回溯指针，而是利用已经得到的“部分匹配”结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离，据徐进行比较。

定义：

①　要搜索的关键字符串 key K1K2......Km。

②　被搜索的源字符串 source S1S2.....Sn。

u 针对要查找的关键字字符串构造失效函数f(s)，该函数的功能就是在比较当Ki != Sj的时候计算出从K的第多少个字符开始重新比较。

使得K1K2...Kf(s)是最长的既是K1K2...Ks的的真前缀，又是K1K2...Ks的后缀的字串。也就是说如果我们试图用一个文本串x匹配K1K2......Km，并且我们已经匹配了前i个字符，但匹配Ki+1的时候失败，也就是说x的下一个位置不是Ki+1，那么f(s)就是可能和我们当前位置为结尾的文本串匹配的最长的K1K2......Km的前缀和后缀y。也就是说文本x的下一个位置和Kf(s)比较，X当前位置之前的f(s)个字符和K1..Kf(s)是匹配的。所以直接从Kf(s)之后进行比较。

算法如下：

对于串"a b a b a a"的计算f(s)的过程如下：

u 针检查S1S2.....Sn是否包含关键字K1K2......Km的算法。

1、无用符号及无用产生式的删除 

无用符号：设有一文法G[S]= （VN ，VT ，P，S），说G中的一个符号X∈V是有用的是指X至少出现在一个句子的推导过程中，即满足：

存在α，β∈V*，有S=*>αXβ 

存在ω∈VT* ，αXβ=*>ω

否则X为无用符号

设有文法G[S]= （VN ，VT ，P，S），首先用算法2.1改造该文法的到G1[S]= （VN1 ，VT ，P1，S），使得对于每一个X∈VN1，都有ω∈VT*，X=*>ω

算法1： 

(1) 分别置VN1，P1为Φ。

(2) 对P中每一个产生式A→δ，若δ∈VT*，则将A放入VN1中。

(3) 对P中每一个产生式A→X1 X2……XK，若每一个Xi 都属于VT或VN1，则将A放入VN1中。

(4) 重复③直至VN1不增大。

(5) 对于P中的每一个产生式B→Y1 Y2……Yn ，若B及每一个Yi ，都属于VN1∪VT  ，则将B→Y1 Y2……Yn，放入P1中。 

其次，对以给文法G[S]，若执行算法2.2可得到一等价文法G’=（VN’， VT’ ，P’，S）使得对任一X∈VN’∪ VT’都存在α，β∈（VN’∪ VT’）有S=*>αXβ. 

算法2:

1.分别置VN’、 VT’、P’为φ

2.将S 放入VN’中。

3.对于G中任何型如A→α1|……|αm的产生式，若A∈VN’则将α1……αm 中的全部非终结符放入VN’中，终结符放入VT’中。

4.重复③直至VN’、 VT’不增大为止。

5.将P中左右部仅含VN’∪ VT’中符号的所有产生式放入P’ 中。 

2、ε—产生式的消除

有的分析方法要求文法中不能含有ε—产生式，因此需要改造文法使之不含ε—产生式。

如果语言不含有ε句子，则可有办法消除文法中的全部ε—产生式，否则不可能全部消除，但我们希望只有在空句子的推导中用到ε—产生式，其他语句的推导过程中不会使用ε—产生式。故对含有空句子的文法，我们希望只有文法开始符S→ε这样一个产生式并且S不出现在其它任何产生式的右部。

算法3：

找出所有能导出ε的非终结符。

1.构造W1={A|产生式A→ε∈P}

2.构造集合序列WK+1= WK∪{B|B→β∈P，且β∈WK，K≥1}

  WK+1是一个有限集，设最后的WK+1为W。

当S∈W时，ε∈L（G[S]）。

设有一文法G[S]= （VN ，VT ，P，S），当ε不属于该文法所描述的语言时，可构造文法：

G’=（VN，VT，P’，S），使得L（G’）=L（G），G’不含有ε产生式：

算法4:

1.利用W将VN 分为两个子集W及VN -W。

2.设A→X1 X2……XK∈P，按下面规则将所有型如A→Y1 Y2……YK 的产生式放入P’中，对于一切1≤i≤k：

  a．若Xi 不属于W，则取Yi = Xi 

b．若Xi ∈W，则分别取Yi 为Xi与ε，但是若所有Xi均属于W，却不能把所有Yi 取为ε。 

设有一文法G[S]= （VN ，VT ，P，S），当ε属于该文法所描述的语言时，可构造文法：

G1=（VN1 ，VT ，P1，S’），使得L（G1）=L（G），P1中除S’→ε外不再含有其它ε产生式，并且S’不出现在任何产生式的右边。

算法5：

若S不出现在任何产生式的右部，则可直接用算法2.4消除ε产生式，再加入S→ε，否则：

  1．引入新的非终结符S’， VN1= VN ∪{ S’}

  2．构造P’ =P∪{ S’→α| S→α∈P}

  3．对文法G1=（VN1 ，VT ，P1，S’），执行算法4，再加入S’→ε。 

3、单产生式的消除

A→B，A,B∈VN 此类产生式被称为单产生式。

假定文法中不含有ε产生式。

算法6：

设VN ={ A1 ...... AN } 对每一个Ai （1≤i≤n）构造集合序列

W1( Ai）={Ai}， 

WK+1（Ai ）= WK（Ai ）∪{D|C→D∈P，C∈WK（Ai ），D∈VN }

K≥1，该集合序列存在一个j，有

Wj（Ai ）= Wj+1（Ai ）......

令W（i）= Wj（Ai ）

W（i）={B| Ai =>B，B∈VN }

构造P’={ Ai →α|B→α∈P，B∈W（i），α不是单个非终结符}(对于A1到A_n的U操作),此时P′中已不含任何单产生式。