Lambda 演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则 (变量替换) 和一条函数定义方式，Lambda 演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机的。尽管如此，Lambda 演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。

历史

最开始，Church 试图创制一套完整的形式系统作为数学的基础，当他发现这个系统易受罗素悖论的影响时，就把 lambda 演算单独分离出来，用于研究可计算性，最终导致了他对判定性问题的否定回答。

非形式化的描述

在 lambda 演算中，每个表达式都代表一个只有单独参数的函数，这个函数的参数本身也是一个只有单一参数的函数，同时，函数的值是又一个只有单一参数的函数。函数是通 过 lambda 表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。例如，“加 2”函数 f(x) = x + 2 可以用 lambda 演算表示为 λ x. x + 2 (λ y. y + 2 也是一样的，参数的取名无关紧要) 而 f(3) 的值可以写作 (λ x. x + 2) 3。函数的作用 (application) 是左结合的：f x y = (f x) y。考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在 3 上：λ x. x 3。如果把这个 (用函数作参数的) 函数作用于我们先前的“加 2”函数上：(λ x. x 3) (λ x. x+2)，则明显地，下述三个表达式：

(λ x. x 3) (λ x. x+2)   与    (λ x. x + 2) 3    与    3 + 2

是等价的。有两个参数的函数可以通过 lambda 演算这么表达：一个单一参数的函数的返回值又是一个单一参数的函数 (参见 Currying)。例如，函数 f(x, y) = x - y 可以写作 λ x. λ y. x - y。下述三个表达式：

(λ x. λ y. x - y) 7 2    与    (λ y. 7 - y) 2    与    7 - 2

也是等价的。然而这种 lambda 表达式之间的等价性无法找到一个通用的函数来判定。

并非所有的 lambda 表达式都可以规约至上述那样的确定值，考虑

(λ x. x x) (λ x. x x)

或

(λ x. x x x) (λ x. x x x)

然后试图把第一个函数作用在它的参数上。 (λ x. x x) 被称为 ω 组合子 (combinator)，((λ x. x x) (λ x. x x)) 被称为 Ω，而 ((λ x. x x x) (λ x. x x x)) 被称为 Ω₂，以此类推。

若仅形式化函数作用的注记而不允许 lambda 表达式，就得到了组合子逻辑 (combinatory logic)。

形式化定义

形式化地，我们从一个标识符 (identifier) 的可数无穷集合开始，比如 {a, b, c, ..., x, y, z, x₁, x₂, ...}，则所有的 lambda 表达式可以通过下述以 BNF 范式表达的上下文无关文法描述：

1. <expr> ::= <identifier>
2. <expr> ::= (λ <identifier> . <expr>)
3. <expr> ::= (<expr> <expr>)

头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda 抽象 (规则 2) 和函数作用 (规则 3) 中的括号在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：(1) 函数的作用是左结合的，和 (2) lambda 操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 ((λ x. (x x)) (λ y. y)) 可以简写成 (λ x. x x) λ y.y。

类似 λ x. (x y) 这样的 lambda 表达式并未定义一个函数，因为变元 y 的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个 λ 上。变元出现次数的绑定是通过下述规则 (基于 lambda 表达式的结构归纳地) 定义的：

1. 在表达式 V 中，V 是变元，则这个表达式里变元 V 只有一次自由出现。
2. 在表达式 λ V . E 中 (V 是变元，E 是另一个表达式)，变元自由出现的次数是 E 中变元自由出现的次数，减去 E 中 V 自由出现的次数。因而，E 中那些 V 被称为绑定在 λ 上。
3. 在表达式 (E E' ) 中，变元自由出现的次数是 E 和 E' 中变元自由出现次数之和。

在 lambda 表达式的集合上定义了一个等价关系 (在此用 == 标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-消解规则”。

α-变换

Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说 λx.x 和 λy.y 是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。

Alpha-变换规则陈述的是，若 V 与 W 均为变元，E 是一个 lambda 表达式，同时 E[V/W] 是指把表达式 E 中的所有的 V 的自由出现都替换为 W，那么在 W 不是 E 中的一个自由出现，且如果 W 替换了 V，W 不会被 E 中的 λ 绑定的情况下，有

λ V. E == λ W. E[V/W]

这条规则告诉我们，例如 λ x. (λ x. x) x 这样的表达式和 λ y. (λ x. x) y 是一样的。

β-消解

Beta-消解规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的 E' 的自由出现在 E [V/E' ] 中仍然是自由的情况下，有

((λ V. E ) E' ) == E [V/E' ]

成立。

== 关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系 (即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系)。

对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何 beta 消解的 lambda 表达式被称为范式。 并非所有的 lambda 表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形式参数替换为实际参数， 直到无法再作任何可能的消解为止。这个算法当且仅当 lambda 表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser 定理 说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。

η-变换

前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念，在这里外延性指的是，两个函数对于所有的参数得到的结果都一致，当且仅当它们是同一个函数。Eta-变换可以令 λ x . f x 和 f 相互转换，只要 x 不是 f 中的自由出现。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的：

若 f 与 g 外延地等价，即，f a == g a 对所有的 lambda 表达式 a 成立，则当取 a 为在 f 中不是自由出现的变量 x 时，我们有 f x == g x，因此 λ x . f x == λ x . g x，由 eta-变换 f == g。所以只要 eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。

相反地，若外延性是有效的，则由 beta-消解，对所有的 y 有 (λ x . f x) y == f y，可得 λ x . f x == f，即 eta-变换也是有效的。

lambda 演算中的运算

在 lambda 演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是Church 整数，下面是它们的定义：

0 = λ f. λ x. x

1 = λ f. λ x. f x

2 = λ f. λ x. f (f x)

3 = λ f. λ x. f (f (f x))

以此类推。直观地说，lambda 演算中的数字 n 就是一个把函数 f 作为参数并以 f 的 n 次幂为返回值的函数。换句话说，Church 整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数 f 为参数，返回另一个单一参数的函数。

(注意在 Church 原来的 lambda 演算中，lambda 表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义 0) 在 Church 整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以 n 为参数，返回 n + 1：

SUCC = λ n. λ f. λ x. f (n f x)

加法是这样定义的：

PLUS = λ m. λ n. λ f. λ x. m f (n f x)

PLUS 可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证

PLUS 2 3    与    5

是否等价。乘法可以这样定义：

MULT = λ m. λ n. m (PLUS n) 0,

即 m 乘以 n 等于在零的基础上 n 次加 m。另一种方式是

MULT = λ m. λ n. λ f. m (n f)

正整数 n 的前驱元 (predecessesor) PRED n = n - 1 要复杂一些：

PRED = λ n. λ f. λ x. n (λ g. λ h. h (g f)) (λ u. x) (λ u. u)

或者

PRED = λ n. n (λ g. λ k. (g 1) (λ u. PLUS (g k) 1) k) (λ l. 0) 0

注意 (g 1) (λ u. PLUS (g k) 1) k 表示的是，当 g(1) 是零时，表达式的值是 k，否则是 g(k) + 1。

逻辑与断言

习惯上，下述两个定义 (称为 Church 布尔值) 被用作 TRUE 和 FALSE 这样的布尔值：

TRUE = λ u. λ v. u

FALSE = λ u. λ v. v

断言是指返回布尔值的函数。最基本的一个断言 ISZERO，当且仅当其参数为零时返回真：

ISZERO = λ n. n (λ x. FALSE) TRUE

断言的运用与上述 TRUE 和 FALSE 的定义，使得 "if-then-else" 这类语句很容易用 lambda 演算写出。

递归

递归是一种以函数自身迭代自身变元的算法，一般是通过函数自身来定义函数的方式实现。表面看来 lambda 演算不允许递归，其实这是一种对递归的误解。考虑阶乘函数 f(n) 一般这样递归地定义：

f(n) = 1, 若 n = 0; n·f(n-1), 若 n>0.

λ语言：

FACT = λ n. n (λ u. MULT n (FACT (PRED n))) 1

用 Y-组合子 在 λ语言 中合法地定义：

FACT = Y (λ g. λ n. n (λ u. MULT n (g (PRED n))) 1)

Y = λ f. ((λ x. f (x x)) (λ x. f (x x)))