Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

• gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
• gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

1. 如果A=0，B是最大公约数，算法结束
2. 如果B=0，A是最大公约数，算法结束
3. 设置A₁ = A、B₁=B和C₁ = 1
4. 如果A_n和B_n都是偶数，则A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n /2，C_n+1 =C_n *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
5. 如果A_n是偶数，B_n不是偶数，则A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n ，C_n+1 =C_n (很显然啦，2不是奇数的约数)
6. 如果B_n是偶数，A_n不是偶数，则B_n+1 =B_n /2，A_n+1 =A_n ，C_n+1 =C_n (很显然啦，2不是奇数的约数)
7. 如果A_n和B_n都不是偶数，则A_n+1 =|A_n -B_n|，B_n+1 =min(A_n,B_n)，C_n+1 =C_n
8. n++，转4

这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2^N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然A_N+1B_N+1≤ A_NB_N/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。

外联接可以是左向外联接、右向外联接或完整外部联接。在 FROM 子句中指定外联接时，可以由下列几组关键字中的一组指定：LEFT JOIN 或 LEFT OUTER JOIN。

左向外联接的结果集包括 LEFT OUTER 子句中指定的左表的所有行，而不仅仅是联接列所匹配的行。如果左表的某行在右表中没有匹配行，则在相关联的结果集行中右表的所有选择列表列均为空值。

RIGHT JOIN 或 RIGHT OUTER JOIN。

右向外联接是左向外联接的反向联接。将返回右表的所有行。如果右表的某行在左表中没有匹配行，则将为左表返回空值。

FULL JOIN 或 FULL OUTER JOIN。

完整外部联接返回左表和右表中的所有行。当某行在另一个表中没有匹配行时，则另一个表的选择列表列包含空值。如果表之间有匹配行，则整个结果集行包含基表的数据值。

仅当至少有一个同属于两表的行符合联接条件时，内联接才返回行。内联接消除与另一个表中的任何行不匹配的行。而外联接会返回 FROM 子句中提到的至少一个表或视图的所有行，只要这些行符合任何 WHERE 或 HAVING 搜索条件。将检索通过左向外联接引用的左表的所有行，以及通过右向外联接引用的右表的所有行。完整外部联接中两个表的所有行都将返回。

Microsoft® SQL Server™ 2000 对在 FROM 子句中指定的外联接使用以下 SQL-92 关键字：

LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN

RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN

FULL OUTER JOIN 或 FULL JOIN

SQL Server 支持 SQL-92 外联接语法，以及在 WHERE 子句中使用 *= 和 =* 运算符指定外联接的旧式语法。由于 SQL-92 语法不容易产生歧义，而旧式 Transact-SQL 外联接有时会产生歧义，因此建议使用 SQL-92 语法。

使用左向外联接

假设在 city 列上联接 authors 表和 publishers 表。结果只显示在出版商所在城市居住的作者（本例中为 Abraham Bennet 和 Cheryl Carson）。

若要在结果中包括所有的作者，而不管出版商是否住在同一个城市，请使用 SQL-92 左向外联接。下面是 Transact-SQL 左向外联接的查询和结果：

USE pubs

SELECT a.au_fname, a.au_lname, p.pub_name

FROM authors a LEFT OUTER JOIN publishers p

ON a.city = p.city

ORDER BY p.pub_name ASC, a.au_lname ASC, a.au_fname ASC

下面是结果集：

au_fname au_lname pub_name

Reginald Blotchet-Halls NULL

Michel DeFrance NULL

Innes del Castillo NULL

Ann Dull NULL

Marjorie Green NULL

Morningstar Greene NULL

Burt Gringlesby NULL

Sheryl Hunter NULL

Livia Karsen NULL

Charlene Locksley NULL

Stearns MacFeather NULL

Heather McBadden NULL

Michael OLeary NULL

Sylvia Panteley NULL

Albert Ringer NULL

Anne Ringer NULL

Meander Smith NULL

Dean Straight NULL

Dirk Stringer NULL

Johnson White NULL

Akiko Yokomoto NULL

Abraham Bennet Algodata Infosystems

Cheryl Carson Algodata Infosystems
            
(23 row(s) affected)
            

不管是否与 publishers 表中的 city 列匹配，LEFT OUTER JOIN 均会在结果中包含 authors 表的所有行。注意：结果中所列的大多数作者都没有相匹配的数据,因此，这些行的 pub_name 列包含空值。

使用右向外联接

假设在 city 列上联接 authors 表和 publishers 表。结果只显示在出版商所在城市居住的作者（本例中为 Abraham Bennet 和 Cheryl Carson）。SQL-92 右向外联接运算符 RIGHT OUTER JOIN 指明：不管第一个表中是否有匹配的数据，结果将包含第二个表中的所有行。

若要在结果中包括所有的出版商，而不管城市中是否还有出版商居住，请使用 SQL-92 右向外联接。下面是 Transact-SQL 右向外联接的查询和结果：

USE pubs

SELECT a.au_fname, a.au_lname, p.pub_name

FROM authors AS a RIGHT OUTER JOIN publishers AS p

ON a.city = p.city

ORDER BY p.pub_name ASC, a.au_lname ASC, a.au_fname ASC
            
 
            

下面是结果集：

au_fname au_lname pub_name 

Abraham Bennet Algodata Infosystems

Cheryl Carson Algodata Infosystems

NULL NULL Binnet & Hardley

NULL NULL Five Lakes Publishing

NULL NULL GGG&G

NULL NULL Lucerne Publishing

NULL NULL New Moon Books

NULL NULL Ramona Publishers

NULL NULL Scootney Books
            
(9 row(s) affected)
            

使用谓词（如将联接与常量比较）可以进一步限制外联接。下例包含相同的右向外联接，但消除销售量低于 50 本的书籍的书名：

USE pubs

SELECT s.stor_id, s.qty, t.title

FROM sales s RIGHT OUTER JOIN titles t

ON s.title_id = t.title_id

AND s.qty > 50

ORDER BY s.stor_id ASC

下面是结果集：

stor_id qty title 

(null) (null) But Is It User Friendly? 

(null) (null) Computer Phobic AND Non-Phobic Individuals: Behavior 

Variations 

(null) (null) Cooking with Computers: Surreptitious Balance Sheets 

(null) (null) Emotional Security: A New Algorithm 

(null) (null) Fifty Years in Buckingham Palace Kitchens 

7066 75 Is Anger the Enemy? 

(null) (null) Life Without Fear 

(null) (null) Net Etiquette 

(null) (null) Onions, Leeks, and Garlic: Cooking Secrets of the 

Mediterranean 

(null) (null) Prolonged Data Deprivation: Four Case Studies 

(null) (null) Secrets of Silicon Valley 

(null) (null) Silicon Valley Gastronomic Treats 

(null) (null) Straight Talk About Computers 

(null) (null) Sushi, Anyone? 

(null) (null) The Busy Executives Database Guide 

(null) (null) The Gourmet Microwave 

(null) (null) The Psychology of Computer Cooking 

(null) (null) You Can Combat Computer Stress!
            
(18 row(s) affected)
            

有关谓词的更多信息，请参见 WHERE。

使用完整外部联接

若要通过在联接结果中包括不匹配的行保留不匹配信息，请使用完整外部联接。Microsoft® SQL Server™ 2000 提供完整外部联接运算符 FULL OUTER JOIN，不管另一个表是否有匹配的值，此运算符都包括两个表中的所有行。

假设在 city 列上联接 authors 表和 publishers 表。结果只显示在出版商所在城市居住的作者（本例中为 Abraham Bennet 和 Cheryl Carson）。SQL-92 FULL OUTER JOIN 运算符指明：不管表中是否有匹配的数据，结果将包括两个表中的所有行。

若要在结果中包括所有作者和出版商，而不管城市中是否有出版商或者出版商是否住在同一个城市，请使用完整外部联接。下面是 Transact-SQL 完整外部联接的查询和结果：

USE pubs

SELECT a.au_fname, a.au_lname, p.pub_name

FROM authors a FULL OUTER JOIN publishers p

ON a.city = p.city

ORDER BY p.pub_name ASC, a.au_lname ASC, a.au_fname ASC
            
 
            

下面是结果集：

            
au_fname au_lname pub_name 

Reginald Blotchet-Halls NULL

Michel DeFrance NULL

Innes del Castillo NULL

Ann Dull NULL

Marjorie Green NULL

Morningstar Greene NULL

Burt Gringlesby NULL

Sheryl Hunter NULL

Livia Karsen NULL

Charlene Locksley NULL

Stearns MacFeather NULL

Heather McBadden NULL

Michael OLeary NULL

Sylvia Panteley NULL

Albert Ringer NULL

Anne Ringer NULL

Meander Smith NULL

Dean Straight NULL

Dirk Stringer NULL

Johnson White NULL

Akiko Yokomoto NULL

Abraham Bennet Algodata Infosystems

Cheryl Carson Algodata Infosystems

NULL NULL Binnet & Hardley

NULL NULL Five Lakes Publishing

NULL NULL GGG&G

NULL NULL Lucerne Publishing

NULL NULL New Moon Books

NULL NULL Ramona Publishers

NULL NULL Scootney Books
            
(30 row(s) affected)
            

设想网上购物的一次交易，其付款过程至少包括以下几步数据库操作：

　　· 更新客户所购商品的库存信息

　　· 保存客户付款信息--可能包括与银行系统的交互

　　· 生成订单并且保存到数据库中

　　· 更新用户相关信息，例如购物数量等等

正常的情况下，这些操作将顺利进行，最终交易成功，与交易相关的所有数据库信息也成功地更新。但是，如果在这一系列过程中任何一个环节出了差错，例如在更新商品库存信息时发生异常、该顾客银行帐户存款不足等，都将导致交易失败。一旦交易失败，数据库中所有信息都必须保持交易前的状态不变，比如最后一步更新用户信息时失败而导致交易失败，那么必须保证这笔失败的交易不影响数据库的状态--库存信息没有被更新、用户也没有付款，订单也没有生成。否则，数据库的信息将会一片混乱而不可预测。

数据库事务正是用来保证这种情况下交易的平稳性和可预测性的技术。

　　数据库事务的ACID属性

事务处理可以确保除非事务性单元内的所有操作都成功完成，否则不会永久更新面向数据的资源。通过将一组相关操作组合为一个要么全部成功要么全部失败的单元，可以简化错误恢复并使应用程序更加可靠。一个逻辑工作单元要成为事务，必须满足所谓的ACID(原子性、一致性、隔离性和持久性)属性：

　　· 原子性

事务必须是原子工作单元；对于其数据修改，要么全都执行，要么全都不执行。通常，与某个事务关联的操作具有共同的目标，并且是相互依赖的。如果系统只执行这些操作的一个子集，则可能会破坏事务的总体目标。原子性消除了系统处理操作子集的可能性。

　　· 一致性

事务在完成时，必须使所有的数据都保持一致状态。在相关数据库中，所有规则都必须应用于事务的修改，以保持所有数据的完整性。事务结束时，所有的内部数据结构（如 B 树索引或双向链表）都必须是正确的。某些维护一致性的责任由应用程序开发人员承担，他们必须确保应用程序已强制所有已知的完整性约束。例如，当开发用于转帐的应用程序时，应避免在转帐过程中任意移动小数点。

　　· 隔离性

由并发事务所作的修改必须与任何其它并发事务所作的修改隔离。事务查看数据时数据所处的状态，要么是另一并发事务修改它之前的状态，要么是另一事务修改它之后的状态，事务不会查看中间状态的数据。这称为可串行性，因为它能够重新装载起始数据，并且重播一系列事务，以使数据结束时的状态与原始事务执行的状态相同。当事务可序列化时将获得最高的隔离级别。在此级别上，从一组可并行执行的事务获得的结果与通过连续运行每个事务所获得的结果相同。由于高度隔离会限制可并行执行的事务数，所以一些应用程序降低隔离级别以换取更大的吞吐量。

　　· 持久性

 事务完成之后，它对于系统的影响是永久性的。该修改即使出现致命的系统故障也将一直保持。
DBMS的责任和我们的任务

企业级的数据库管理系统（DBMS）都有责任提供一种保证事务的物理完整性的机制。就常用的SQL Server2000系统而言，它具备锁定设备隔离事务、记录设备保证事务持久性等机制。因此，我们不必关心数据库事务的物理完整性，而应该关注在什么情况下使用数据库事务、事务对性能的影响，如何使用事务等等。

本文将涉及到在.net框架下使用C#语言操纵数据库事务的各个方面。

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体验SQL语言的事务机制

作为大型的企业级数据库，SQL Server2000对事务提供了很好的支持。我们可以使用SQL语句来定义、提交以及回滚一个事务。

如下所示的SQL代码定义了一个事务，并且命名为"MyTransaction"（限于篇幅，本文并不讨论如何编写SQL语言程序，请读者自行参考相关书籍）：

DECLARE @TranName VARCHAR(20)

Select @TranName = ''''MyTransaction''''
BEGIN TRANSACTION @TranNameGOUSE pubs
GO

Update roysched
SET royalty = royalty * 1.10
Where title_id LIKE ''''Pc%''''
GO

COMMIT TRANSACTION MyTransaction
GO

这里用到了SQL Server2000自带的示例数据库pubs，提交事务后，将为所有畅销计算机书籍支付的版税增加 10%。

打开SQL Server2000的查询分析器，选择pubs数据库，然后运行这段程序，结果显而易见。

可是如何在C#程序中运行呢？我们记得在普通的SQL查询中，一般需要把查询语句赋值给SalCommand.CommandText属性，这里也就像普通的SQL查询语句一样，将这些语句赋给SqlCommand.CommandText属性即可。要注意的一点是，其中的"GO"语句标志着SQL批处理的结束，编写SQL脚本是需要的，但是在这里是不必要的。我们可以编写如下的程序来验证这个想法：

//TranSql.csusing System;
using System.Data;
using System.Data.SqlClient;
namespace Aspcn
{
　public class DbTranSql
　{
　　file://将事务放到SQL Server中执行
　　public void DoTran()
　　{
　　　file://建立连接并打开
　　　SqlConnection myConn=GetConn();myConn.Open();
　　　SqlCommand myComm=new SqlCommand();
　　　try
　　　{
　　　　myComm.Connection=myConn;
　　　　myComm.CommandText="DECLARE @TranName VARCHAR(20) ";
　　　　myComm.CommandText+="Select @TranName = ''''MyTransaction'''' ";
　　　　myComm.CommandText+="BEGIN TRANSACTION @TranName ";
　　　　myComm.CommandText+="USE pubs ";
　　　　myComm.CommandText+="Update roysched SET royalty = royalty * 1.10 Where title_id LIKE ''''Pc%'''' ";
　　　　myComm.CommandText+="COMMIT TRANSACTION MyTransaction ";
　　　　myComm.ExecuteNonQuery();
　　　}
　　　catch(Exception err)
　　　{
　　　　throw new ApplicationException("事务操作出错，系统信息："+err.Message);
　　　}
　　　finally
　　　{
　　　　myConn.Close();
　　　}
　　}
　　file://获取数据连接
　　private SqlConnection GetConn()
　　{
　　　string strSql="Data Source=localhost;Integrated Security=SSPI;user id=sa;password=";
　　　SqlConnection myConn=new SqlConnection(strSql);
　　　return myConn;
　　}
　}

　public class Test
　{
　　public static void Main()
　　{
　　　DbTranSql tranTest=new DbTranSql();
　　　tranTest.DoTran();
　　　Console.WriteLine("事务处理已经成功完成。");
　　　Console.ReadLine();
　　}
　}
}

　　注意到其中的SqlCommand对象myComm，它的CommandText属性仅仅是前面SQL代码字符串连接起来即可，当然，其中的"GO"语句已经全部去掉了。这个语句就像普通的查询一样，程序将SQL文本事实上提交给DBMS去处理了，然后接收返回的结果（如果有结果返回的话）。

很自然，我们最后看到了输出"事务处理已经成功完成"，再用企业管理器查看pubs数据库的roysched表，所有title_id字段以"PC"开头的书籍的royalty字段的值都增加了0.1倍。

这里，我们并没有使用ADO.net的事务处理机制，而是简单地将执行事务的SQL语句当作普通的查询来执行，因此，事实上该事务完全没有用到.net的相关特性。
了解.net中的事务机制

如你所知，在.net框架中主要有两个命名空间(namespace)用于应用程序同数据库系统的交互：System.Data.SqlClient和System.Data.OleDb。前者专门用于连接Microsoft公司自己的SQL Server数据库，而后者可以适应多种不同的数据库。这两个命名空间中都包含有专门用于管理数据库事务的类，分别是System.Data.SqlClient.SqlTranscation类和System.Data.OleDb.OleDbTranscation类。

就像它们的名字一样，这两个类大部分功能是一样的，二者之间的主要差别在于它们的连接机制，前者提供一组直接调用 SQL Server 的对象，而后者使用本机 OLE DB 启用数据访问。 事实上，ADO.net 事务完全在数据库的内部处理，且不受 Microsoft 分布式事务处理协调器 (DTC) 或任何其他事务性机制的支持。本文将主要介绍System.Data.SqlClient.SqlTranscation类，下面的段落中，除了特别注明，都将使用System.Data.SqlClient.SqlTranscation类。

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事务的开启和提交

现在我们对事务的概念和原理都了然于心了，并且作为已经有一些基础的C#开发者，我们已经熟知编写数据库交互程序的一些要点，即使用SqlConnection类的对象的Open()方法建立与数据库服务器的连接，然后将该连接赋给SqlCommand对象的Connection属性，将欲执行的SQL语句赋给它的CommandText属性，于是就可以通过SqlCommand对象进行数据库操作了。对于我们将要编写的事务处理程序，当然还需要定义一个SqlTransaction类型的对象。并且看到SqlCommand对象的Transcation属性，我们很容易想到新建的SqlTransaction对象应该与它关联起来。

基于以上认识，下面我们就开始动手写我们的第一个事务处理程序。我们可以很熟练地写出下面这一段程序：

//DoTran.csusing System;
using System.Data;
using System.Data.SqlClient;
namespace Aspcn
{
　public class DbTran
　{
　　file://执行事务处理
　　public void DoTran()
　　{
　　　file://建立连接并打开
　　　SqlConnection myConn=GetConn();
　　　myConn.Open();
　　　SqlCommand myComm=new SqlCommand();
　　　SqlTransaction myTran=new SqlTransaction();
　　　try
　　　{
　　　 myComm.Connection=myConn;
　　　 myComm.Transaction=myTran;
　　　
　　　　file://定位到pubs数据库　
　　　　myComm.CommandText="USE pubs";
　　　　myComm.ExecuteNonQuery();

　　　　file://更新数据
　　　　file://将所有的计算机类图书
　　　　myComm.CommandText="Update roysched SET royalty = royalty * 1.10 Where title_id LIKE ''''Pc%''''";
　　　　myComm.ExecuteNonQuery();//提交事务
　　　　myTran.Commit();
　　　}
　　　catch(Exception err)
　　　{
　　　　throw new ApplicationException("事务操作出错，系统信息："+err.Message);
　　　}
　　　finally
　　　{
　　　　myConn.Close();
　　　}
　　}
　　file://获取数据连接
　　private SqlConnection GetConn()
　　{
　　　string strSql="Data Source=localhost;Integrated Security=SSPI;user id=sa;password=";
　　　SqlConnection myConn=new SqlConnection(strSql);
　　　return myConn;
　　}
　}

　public class Test{public static void Main()
　{
　　DbTran tranTest=new DbTran();
　　tranTest.DoTran();
　　Console.WriteLine("事务处理已经成功完成。");
　　Console.ReadLine();
　}
}
}

显然，这个程序非常简单，我们非常自信地编译它，但是，出乎意料的结果使我们的成就感顿时烟消云散：

error CS1501: 重载"SqlTransaction"方法未获取"0"参数

是什么原因呢？注意到我们初始化的代码：

SqlTransaction myTran=new SqlTransaction();

显然，问题出在这里，事实上，SqlTransaction类并没有公共的构造函数，我们不能这样新建一个SqlTrancaction类型的变量。在事务处理之前确实需要有一个SqlTransaction类型的变量，将该变量关联到SqlCommand类的Transcation属性也是必要的，但是初始化方法却比较特别一点。在初始化SqlTransaction类时，你需要使用SqlConnection类的BeginTranscation()方法：

SqlTransaction myTran; myTran=myConn.BeginTransaction();
　　
该方法返回一个SqlTransaction类型的变量。在调用BeginTransaction()方法以后，所有基于该数据连接对象的SQL语句执行动作都将被认为是事务MyTran的一部分。同时，你也可以在该方法的参数中指定事务隔离级别和事务名称，如：

SqlTransaction myTran;
myTran=myConn.BeginTransaction(IsolationLevel.ReadCommitted,"SampleTransaction"); 
　　
关于隔离级别的概念我们将在随后的内容中探讨，在这里我们只需牢记一个事务是如何被启动，并且关联到特定的数据链接的。

先不要急着去搞懂我们的事务都干了些什么，看到这一行：

myTran.Commit();

是的，这就是事务的提交方式。该语句执行后，事务的所有数据库操作将生效，并且为数据库事务的持久性机制所保持--即使系统在这以后发生致命错误，该事务对数据库的影响也不会消失。

对上面的程序做了修改之后我们可以得到如下代码（为了节约篇幅，重复之处已省略，请参照前文）：

//DoTran.cs……｝

file://执行事务处理
public void DoTran()
{
　file://建立连接并打开
　SqlConnection myConn=GetConn();
　myConn.Open();
　SqlCommand myComm=new SqlCommand();

　file://SqlTransaction myTran=new SqlTransaction();
　file://注意，SqlTransaction类无公开的构造函数

　SqlTransaction myTran;

　file://创建一个事务
　myTran=myConn.BeginTransaction();
　try
　{
　　file://从此开始，基于该连接的数据操作都被认为是事务的一部分
　　file://下面绑定连接和事务对象
　　myComm.Connection=myConn;
　　myComm.Transaction=myTran; file://定位到pubs数据库
　　myComm.CommandText="USE pubs";
　　myComm.ExecuteNonQuery();//更新数据
　　file://将所有的计算机类图书
　　myComm.CommandText="Update roysched SET royalty = royalty * 1.10 Where title_id LIKE ''''Pc%''''";
　　myComm.ExecuteNonQuery();
　
　　file://提交事务
　　myTran.Commit();
　}
　catch(Exception err)
　{
　　throw new ApplicationException("事务操作出错，系统信息："+err.Message);
　 }
　finally
　{
　　myConn.Close();
　 }
}
……

到此为止，我们仅仅掌握了如何开始和提交事务。下一步我们必须考虑的是在事务中可以干什么和不可以干什么。
 

该文章转载自'大智の博客'：http://www.csafe.cn/article.asp?id=271