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问题: 给定一个字符集，怎样使用最少的字符个数来表示一个大数?

佚名 — Sat, 18 Nov 2006 13:54:00 GMT

问题描述：
       Q1：  给定字符集C ={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，+，—，*，/，^}，采用我们熟知的约定：其中，+，—，*，/，^ 分别表示加，减，乘，除，幂运算，运算符优先级依次升高，遇到同级运算符从右向左运算，数字为十进制数。那么，任给的一个（大）数，怎么只使用字符集C里的字符来表示它，确保表达式字符串长度最短？

问题解释：
        举例说明， 9^9 = 3^4=387420489，可以看出表示387420489最少只需3个字符。9^9-1=387420488，可以看出表示387420488最少只需5个字符。

相似问题：
       Q2：给定字符集B ={0，1，+，—，*，/，^}，采用二进制数，这时，任给的一个（大）数，怎么只使用字符集B里的字符来表示它，确保表达式字符串长度最短？
       Q3：给定字符集B⁺ ={0，1，+，—，*，/，^，！}，其中！表示阶乘运算，这时情况怎样呢？

问题讨论：
         讨论问题Q2或Q3似乎比问题Q1更有意义。假如给定的数N很大，计算Q2或Q3很不容易，因为因数分解本身就是一件很棘手的事，而这里，事先根本不能确定因数分解跟N相关的那个数最好。
        Q2或Q3是一个可计算函数吗？是一个递归函数吗？是否存在算法程序求解？

佚名 2006-11-18 21:54 发表评论

初等数论里的几个问题

佚名 — Thu, 16 Nov 2006 05:47:00 GMT

命题1      2^n+1是素数的必要条件是n=2^m，形如 2^(2^m)+1 的数称为Fermat数
           2^n-1是素数的必要条件是n是素数，形如2^n-1的素数称为Mersenne素数. 2^p-1如有素因子(p是素数)，其形式必定是2kp+1.
证：1）考察2^n+1，如果n = (2^k)*j并且j是大于1的奇数，则
            2^n+1 = (2^(2^k)+1- 1)^j +1，展开容易看出2^(2^k)+1 |  2^n+1
    2）Let r and s be positive integers, then the polynomial x^rs-1 is x^s-1 times x^s(r-1) + x^s(r-2) + ... + x^s + 1. So if n is composite (say r^.s with 1<s<n), then 2ⁿ-1 is also composite (because it is divisible by 2^s-1).

命题2      完美数就是那些真因子的和等于自身的数。所有是偶数的完美数都形如2^(n-1)*(2^n-1)，并且 2^n-1必须为素数。属于奇数的完美数至今未能确定。

命题3      设a>=2，b>=2, a与b互素，即存在整数x，y满足ax+by=1.则：
1）一定存在正整数s^s-1
2）如果s₀是满足1）式的最小正整数，则a|b^h-1(h是自然数)的充要条件是s₀|h2）a整除bⁿ后，n=1，2，3...., 所可能取到的不同非负余数正好是s₀个

费马小定理   1)设p是素数，则对任意正整数a，p|a^p-a
2)进一步如果p不整除a，则 p|a^p-1-1，存在d>1是满足

的最小正整数，并且d|p-1

证法一归纳法：因为p|C(p,j)，这里C(p,j)是组合数，0             所以(a+1)^p-(a+1)=a^p-a+p*A

命题4

佚名 2006-11-16 13:47 发表评论

关于质倒数的循环节长度的两个命题

佚名 — Fri, 27 Oct 2006 06:58:00 GMT

命题1 质数p的倒数的循环节长度L整除p－1，即L | p－1

命题2 n为一个大于1的自然数，如果1/n的循环节的长度＝n-1，则n为质数

今天看到这两个命题，感觉都很自然，证明应该不难吧

佚名 2006-10-27 14:58 发表评论